위 사진 속 머그잔이 위상수학자(topologist)들을 슬프게 만드는 이유 는 위상수학의 가장 유명한 농담인 "위상수학자는 도넛(토러스)과 커피잔을 구별하지 못한다"는 규칙을 완벽하게 깨뜨렸기 때문입니다.

위상수학(Topology)에서는 물체를 자르거나 붙이지 않고, 늘리거나 구부리는 연속적인 변형(동상변형)을 통해 같은 형태로 만들 수 있다면 두 물체를 '위상적으로 동일하다(homomorphic)'고 봅니다.

이 관점에서 일반적인 머그잔과 도넛이 같은 이유와, 사진 속 머그잔이 왜 수학자들을 곤란하게 만드는지는 다음과 같습니다.

1. 일반적인 머그잔과 도넛의 관계

• 구멍의 개수(Genus): 일반적인 커피 머그잔은 손잡이에 구멍이 딱 1개 있습니다. 도넛(토러스) 역시 가운데에 구멍이 1개 있습니다.

• 위상적 동일성: 따라서 일반적인 머그잔은 찰흙처럼 잘 늘리면 구멍이 1개인 도넛 모양으로 완벽하게 변형할 수 있습니다. 수학적으로 두 구조는 같습니다.

2. 사진 속 머그잔이 수학자들을 슬프게 하는 이유

• 구멍의 개수가 2개: 사진 속 머그잔은 손잡이 구멍이 있을 뿐만 아니라, 컵 한가운데를 도넛 모양으로 관통하는 또 다른 구멍이 뚫려 있습니다.

• 새로운 위상적 구조: 즉, 이 머그잔은 구멍이 1개인 일반적인 도넛(토러스)이 아니라, 구멍이 2개 뚫린 '더블 토러스(Double torus)' 구조를 가지고 있습니다.

• 농담의 파괴: 도넛 모양을 하고 있어서 위상수학자의 정체성과도 같은 '도넛=커피잔' 공식을 대입하려고 했더니, 막상 구조를 보니 도넛 2개가 합쳐진 모양(또는 구멍이 2개인 완전히 다른 물체)이 되어버려 수학자들을 혼란스럽고 슬프게(?) 만드는 유머입니다.